微分方程
$$A{y}’’+{By}’ +Cy=0, r_{1}, r_{2}\in R,(A,B,C为实数),B^{2} -4AC<0$$

特征方程解为虚数

Exmaple: \({y}’’ -{y}’ +2y=0\)
我们希望获得微分方程的实数解,但是要借助复数解来获得。

复数解的形式:$$\mathbf{\hat y=c_{1}e^{r_{1} t} +c_{2} e^{r_{2} t}},此处\mathbf{r_{1},r_{2},c_{1},c_{2}}为复数$$
$$\mathbf{\hat{y} =(m_{1} +n_{1}i)e^{a+bi}t+(m_{2} +n_{2}i)e^{a-bi}t}$$
$$\mathbf{\hat{y}的共轭复数=(m_{1} -n_{1}i)e^{a-bi}t+(m_{2} -n_{2}i)e^{a+bi}t}$$
由于我们最终需要的是实数解,所以:$$Img(\hat y)=0,Img(\hat y的共轭复数)=0$$
$$\mathbf{\hat y=\hat y的共轭}$$
可以得到:$$\mathbf{((m_{2}+n_{2}i)e^{a-bi}t=(m_{1}-n_{1}i)e^{a-bi}}$$
代入后得:$$\mathbf{\hat y=(m_{1} +n_{1}i)e^{a+bi}t+(m_{1}-n_{1}i)e^{a-bi}}$$
整理可得:$$\mathbf{y=e^{at} [m_{1}(e^{ibt}+e^{-ibt})+n_{1}i(e^{ibt}-e^{-ibt})]}$$
利用下面的公式进行转化
$$\mathbf{\frac{e^{i t}+e^{-it}}{2} =cost}$$
$$\mathbf{\frac{e^{i t}-e^{-it}}{2i} =sint}$$

转化后得到:$$\LARGE y=e^{at} (m_{1}cosbt+n_{1}sinbt)$$这就是我们需要的实数解,也可以将该解的形式写为以下形式: $$\LARGE y=Ce^{at}cos(bt+\varphi)$$


另一种思考的角度

$$\mathbf{\hat{y}=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}=c_{1}e^{(a+bi)t}+c_{2}{e^{(a-bi)t}},r_{1},r_{2}}为复数,c_{1},c_{2}为实数
$$
这是从特征方程中获得的复数解。将复数解简化为该形式:
$$\hat{y}=u+vi$$
代入原微分方程可得:
$$(Au’’+Bu’+C)+(Av’’+Bv’+C)i=0$$
0是实数,所以可以得到$$(Au’’+Bu’+C)=0,(Av’’+Bv’+C)=0$$
也就是说,针对复数解的实部和虚部可以各获得一个解:
$$\mathbf{y=Re(\hat{y})+Img(\hat{y})=e^{at}[Re(c_{1}e^{ibt}+c_{2}e^{-ibt})+Img(c_{1}e^{ibt}+c_{2}e^{-ibt})]=e^{at}(m_{1}cosbt+m_{2}sinbt)}$$
完结撒花!